Question

11．如图，已知A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1作x轴的垂线交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，B₂，B₃，…，B_n，B_n+1，连接A₁B₂，B₁A₂，A₂B₃，B₂A₃，…，A_nB_n+1，B_nA_n+1，依次相交于点P₁，P₂，P₃，…，P_n，△A₁B₁P₁，△A₂B₂P₂，…，△A_nB_nP_n的面积依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S_n=$\frac{{n}^{2}}{8n+4}$（请用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 根据图象上点的坐标性质得出点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S₁、S₂、S₃、…、S_n，进而得出答案．

解答 解：∵A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，
∴依题意得：B₁（1，$\frac{1}{2}$），B₂（2，1），B₃（3，$\frac{3}{2}$），…，B_n（n，$\frac{n}{2}$）
∵A₁B₁∥A₂B₂，
∴△A₁B₁P₁∽△A₂B₂P₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴△A₁B₁P₁与△A₂B₂P₁对应高的比为：1：2，
∵A₁A₂=1，
∴A₁B₁边上的高为：$\frac{1}{3}$，
∴S_A1B1P1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$=$\frac{{1}^{2}}{8×1+4}$，
同理可得：S_A2B2P2=$\frac{{2}^{2}}{8×2+4}$=$\frac{4}{20}$，
∴S_n=$\frac{{n}^{2}}{8n+4}$．
故答案为：$\frac{{n}^{2}}{8n+4}$．

点评 此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．