Question

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCO=∠POC？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点B和点C的坐标，然后设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，根据题意列出a，b和c的三元一次方程组，求出a，b和c的值即可；
（2）作线段OC的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P，把y=2代入抛物线的表达式，求出x的值即可；
（3）①当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，先求出MC=MP₁，设P₁（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②当点A为直角顶点时，过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．则P₂N∥x轴，求出AO=OF，P₂N=NF，进而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；　　

（2）存在．　
作线段OC的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵C（0，4），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=2；
把y=2代入抛物线的表达式，
得2=-x²+3x+4；
解得，x=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$
∴点P的坐标是：（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）

（3）存在．　
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．　　　　　　
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP₂，AC交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），则n=（-n²+3n+4）+4
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的解法的知识，解答（2）问需要作线段OC的垂直平分线l，解答（3）问需要进行分类讨论，此题有一定的难度．