Question

6．如图1，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H，
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线与点F，交x轴与点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S，
①求S与m的函数表达式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入从而可求得a=-1，从而可求得抛物线的解析式；
（2）①先求得抛物线的对称轴为x=-1，然后可求得点D的坐标（-1，4），然后可求得AH=2，DH=4，由点E的横坐标为m，可知AG=m+3，于是得到EG=2m+6，然后将点F的横坐标代入抛物线的解析式，可求得FG=-m²-2m+3，最后根据△ADF的面积=$\frac{1}{2}EF•AH$列出函数的关系式；②利用配方法求得当m=-2时，S的最大值为1，然后将m=-2，代入得EG=2m+6可求得点E的纵坐标，从而可求得点E的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
将点C的坐标代入得：-3a=3，
解得：a=-1．
将a=-1代入得：y=-（x+3）（x-1）．
整理得：y=-x²-2x+3．
∴二次函数的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）①∵图象经过A（-3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴为x=-1．
将x=-1代入抛物线的解析式得；y=4．
∴DH=4，AH=2．
∵点E的横坐标为m，
∴点G的横坐标为m．
∴AG=m+3．
∵DH∥y轴，
∴△AEG∽△ADH．
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{DH}{AH}$即$\frac{EG}{m+3}=\frac{4}{2}$．
∴EG=2m+6．
将x=m代入抛物线的解析式得；y=-m²-2m+3．
∴FG=-m²-2m+3．
∴FE=FG-EG=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3．
∴${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}EF•AH$=$\frac{1}{2}×2×$（-m²-4m-3）=-m²-4m-3．
∴S与m的表达式为S=-m²-4m-3．
②由S=-m²-4m-3配方得：S=-（m+2）²+1．
当m=-2时，S有最大值，最大值为S=1．
将m=-2代入EG=2m+6得；GE=2．
∴点E的坐标为（-2，2）．

点评 本题主要考查的二次函数的综合应用、解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式，用含m的式子表示出EF的长是解题的关键．