Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE垂直平分AB，点E为垂足，求证：
（1）∠B=30°
（2）BD=2CD．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到△ACD≌△AED，由DE垂直平分AB，可得AE=BE，从而可以得到AC与AB的关系，从而可以解答本题．
（2）由∠C=90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，可得DC=DE，由（1）中∠B=30°，可以得到BD与DE的关系，从而可以得到BD与CD的关系．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，
∴DC=DE，∠C=∠DEA=90°，AE=BE．
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC=AE．
∴AC=$\frac{1}{2}AB$．
∴∠B=30°．
（2）∵∠B=30°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，BD=2DE．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，
∴DE=CD．
∴BD=2CD．

点评 本题考查三角形的全等、直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系、线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化，进行解答．