Question

15．初步探究
如图①，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，与⊙O相交于B、C两点，且AC恰好经过圆心O．求证△PAB∽△PCA．
进一步探究
如图②若其他条件不变，但AC不经过圆心O．上述结论是否成立？请说明理由．
尝试应用
如图③，PA=3，PB=$\sqrt{3}$，⊙O的半径为2，请直接写出直线PC上一点与圆心O的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由PA与⊙O相切，得到∠PAC=90°．根据余角的想知道的∠PAB=∠C．于是得到结论；
（2）连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD．根据切线的性质得到∠PAD=90°．根据余角的性质得到∠PAB=∠D．于是得到结论；
（3）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则OB=2，OD为直线PC上一点D与圆心O的最短距离，根据切割线定理得到PC=3$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵PA与⊙O相切，
∴∠PAC=90°．
∴∠BAD+∠PAB=90°．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠BAD+∠C=90°．
∴∠PAB=∠C．
又∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA；

（2）成立．连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD．
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAD=90°．
∴∠BAD+∠PAB=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠BAD+∠D=90°．
∴∠PAB=∠D．
又∵∠C=∠D，
∴∠PAB=∠C．
又∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA；

（3）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则OB=2，OD为直线PC上一点D与圆心O的最短距离，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∵BD⊥BC，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=1．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定，圆周角定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．