Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

(3)求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－4x＋3；(2)△APC的周长＝3；(3)S△ABC＝3.

【解析】

（1）由抛物线的对称性可求得点A、B的坐标，然后代入解析式求得b、c的值即可；

（2）连接BC，交x=2与点P，然后求得可证明△APC的周长=AC+BC，最后求得BC、AC的长即可．

（3）根据三角形面积公式进行计算即可.

（1）∵点A与点B关于x=2对称，AB=2，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）．

将点A、B的坐标代入得：

解得：．

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．

（2））如图所示：连接BC交直线x=2与点P．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=3．

∴OC=3．

∵点A与点B关于x=2对称，

∴PA=PB．

∴△ACP的周长=AC+AP+CP=AC+PB+CP=AC+CB．

在Rt△AOC中，AC=，

在Rt△COB中，BC=．

∴△ACP周长的最小值3+．

（3）S△ABC＝×2×3＝3.