Question

如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：

①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，

其中正确的结论的个数是（     ）

A．1      B．2     C．3      D．4

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

试题分析：首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．

∵△ABC和△DCE均是等边三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE=BD，（①正确）

∠CBD=∠CAE，

∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，

∴△BCF≌△ACG（ASA），

∴AG=BF，（②正确）

同理：△DFC≌△EGC（ASA），

∴CF=CG，

∴△CFG是等边三角形，

∴∠CFG=∠FCB=60°，

∴FG∥BE，（③正确）

过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠BDC=∠AEC，

∵CD=CE，∠CND=∠CMA=90°，

∴△CDN≌△CEM，

∴CM=CN，

∵CM⊥AE，CN⊥BD，

∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）

∴∠BOC=∠EOC，

∴④正确；

正确的有①②③④共4个．

故选D.

考点：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质

点评：解答本题的关键是仔细识图，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，合理应用数形结合思想．