Question

如图，在等边△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，AD=3cm，BC=7cm，P为BC边上一动点（不与B、C重合），连结DP，过P点作PF交EC于F，使得∠DPF=∠B．
（1）求BD的长？
（2）求证：△DBP∽△PCF；
（3）在BC边上是否存在一点P，使得EF：FC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC，再根据BD=AB-AD计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DPC=∠B+∠BDP，然后求出∠BDP=∠CPF，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠B=∠C=60°，然后根据两组角对应相等的三角形是相似三角形证明；
（3）设BP=x，表示出CP，然后根据相似三角形对应边成比例求出CF，再求出EF，然后列出方程求解即可．

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=7cm，
∴BD=AB-AD=7-3=4cm；

（2）证明：有三角形的外角性质得，∠DPC=∠B+∠BDP，
∵∠DPF=∠B，
∴∠BDP=∠CPF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴△DBP∽△PCF；

（3）解：设BP=x，则CP=7-x，
∵△DBP∽△PCF，
∴

BD

BP

=

CP

CF

，
∴CF=

BP•CP

BD

=

x•(7-x)

4

，
∵EF：FC=5：3，
∴CF=

5x•(7-x)

12

，
∵DE∥BC，
∴CE=BD=4cm，
∴

x•(7-x)

4

+

5x•(7-x)

12

=4，
整理得，x²-7x+6=0，
解得x₁=1，x₂=6，
经检验都符合题意，
所以，存在这样的点P满足条件，且BP=1cm或BP=6cm．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（3）列出关于BP长度的方程．