认真阅读材料.然后回答问题:我们学习了多项式的运算法则.相应的.我们可以计算出多项式的展开式.如:(a+b)1=a+b.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3.-下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现.当n取正整数是可以单独列成表中的形式:上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形 ,仔细观� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．认真阅读材料，然后回答问题：
我们学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律完成下列问题：
（1）多项式（a+b）⁷的展开式共有八项，其中第三项的系数为21；
（2）试求出多项式（a+b）⁹展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，观察规律探索出：多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和S=2ⁿ（结果用含字母n的代数式表示）．

分析（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据数学归纳法，写出前几项总结规律，从而可以解答本题；
（3）根据数学归纳法，写出前几项总结规律，从而可以解答本题．

解答解：（1）由题意可得，
（a+b）⁷的展开式共有八项，其中第三项的系数为：6+15=21，
故答案为：八，21；
（2）∵当n=1时，多项式（a+b）¹展开式的各项系数之和为：1+1=2=2¹，
当n=2时，多项式（a+b）²展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2²，
当n=3时，多项式（a+b）³展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2³，
当n=4时，多项式（a+b）⁴展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多项式（a+b）⁹展开式的各项系数之和=2⁹．
（3）∵当n=1时，多项式（a+b）¹展开式的各项系数之和为：1+1=2=2¹，
当n=2时，多项式（a+b）²展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2²，
当n=3时，多项式（a+b）³展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2³，
当n=4时，多项式（a+b）⁴展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和：S=2ⁿ，
故答案为：2ⁿ．

点评本题考查整式的化简求值，数字的变化，解题的关键是明确题意，利用数学归纳法解答本题．

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6．观察下列等式$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，把以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2008×2009}$=$\frac{2008}{2009}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$．

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3．如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）若∠B=36°，b=1，则c=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
（2）如图1，若a=6，b=4，则c的值；
（3）如图2，若∠A=2∠B=4∠C．若c=3，求$\frac{a+b}{ab}$的值．