Question

4．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过点A，S_△BEC=8，则k=16．

Answer 1

分析 根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．

解答 解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠ACB，又∵∠DBC=∠EBO，
∴∠EBO=∠ACB，
∵∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴$\frac{OB}{BC}$=$\frac{OE}{AB}$，即BC×OE=BO×AB．
又∵S_△BEC=8，
∴$\frac{1}{2}$BC•EO=8，
即BC×OE=16=BO×AB=|k|．
∵反比例函数图象在第三象限，k＞0．
∴k=16，
故答案为：16．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，此题主要涉及到反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=$\frac{1}{2}$|k|．