Question

【题目】已知：二次函数y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m为实数）的图象与x轴交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）（x1≠x2）两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若 （O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m为实数）的图象与x轴有两个交点，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；

；

解：∵二次函数y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m为实数）的图象与x轴有两个交点，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；

；解：∵二次函数y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m为实数）的图象与x轴有两个交点，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；
（2）

解：根据题意，x1、x2为方程x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4=0的两根，

∴x1+x2=3（m﹣1），x1x2=3m﹣4，

∵ ，

∴OA+OB=2，

而OA=|x1|，OB=|x2|，

∴|x1|+|x2|=2，

当x1+x2=3（m﹣1）＞0，x1x2=3m﹣4＞0，即m＞ 且m≠ ，则3（m﹣1）=2，解得m= （舍去）；

当x1+x2=3（m﹣1）＜0，x1x2=3m﹣4＞0，m的值不存在；

当x1x2=3m﹣4＜0，即m＜ ，则x1与x2异号，x12+x22﹣2x1x2=4，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，

∴9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）=4，

整理得3m2﹣10m+7=0，解得m1= （舍去），m2=1，

∴m的值为1．

【解析】（1）利用△=b2﹣4ac＞0抛物线与x轴有2个交点得到△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，然后解不等式即可得到m的取值范围；（2）先判断x1、x2为方程x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=3（m﹣1），x1x2=3m﹣4，再由 得到|x1|+|x2|=2，接着分类讨论x1和x2的符号去绝对值得到m的方程，然后解方程求出满足条件的m的值．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．