Question

已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．

（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．

（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

Answer 1

解答： 证明：（1）∵△=（2k+1）²﹣16（k﹣）=（2k﹣3）²≥0，

∴方程总有实根；

解：（2）∵两实数根互为相反数，

∴x₁+x₂=2k+1=0，

解得k=﹣0.5；

（3）①当b=c时，则△=0，

即（2k﹣3）²=0，

∴k=，

方程可化为x²﹣4x+4=0，

∴x₁=x₂=2，

而b=c=2，

∴b+c=4=a不适合题意舍去；

②当b=a=4，则4²﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，

∴k=，

方程化为x²﹣6x+8=0，

解得x₁=4，x₂=2，

∴c=2，

C_△ABC=10，

当c=a=4时，同理得b=2，

∴C_△ABC=10，

综上所述，△ABC的周长为10．