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【题目】如图,点E是正方形ABCD的对角线BD上一点,并且AD=DE,过点EEFBDAB于点F.

1)求证:AF=BE,2)若正方形的边长为1,求BF的长度.

【答案】1)见解析;(2)2-.

【解析】

1)先证RtAFDRtEFD,则EF=AF,再由正方形的性质得出∠EBF=45°,可得BFE是等腰直角三角形,则BE=EF,即可得出结论;

2)根据勾股定理求出BD=,由AD=DE可得BE= -1,由AF=BEAB=1即可得BF的长度.

证明:(1)如图,连接DF

∵正方形ABCD

AB=DC=BC=AD

∴∠A= ABC= C= ADC=90°

EFBD

∴∠DEF= BEF=90°

∴∠A= DEF

RtAFDRtEFD

AD=ED,DF=DF

RtAFDRtEFD(HL)

EF=AF

∵四边形ABCD是正方形

∴∠EBF=45°

∴∠BFE=90°-EBF=45°

∴∠EBF= EFB

BE=EF

AF=BE.

2)由(1)知,AF=EF=BEAB=DC=BC=AD=1

BD= =

AD=DE

BE=BD-DE=-1

AF=BE=-1

BF=AB-AF=1--1=2-.

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110

120

130

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180

160

140

……

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