Question

6．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A、B，AB=2$\sqrt{5}$，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可知OA=$\sqrt{5}$，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性结合点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数图象上，设出点C的坐标为（n，$\frac{2}{n}$），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标．

解答 解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．

由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB=2$\sqrt{5}$，
∴OA=OB=$\sqrt{5}$．
设点A的坐标为（a，2a），
在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a²+（2a）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得：a=1，
∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$中得：2=$\frac{k}{1}$，
解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，
∴点B的坐标为（-1，-2）．
设点C的坐标为（n，$\frac{2}{n}$），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，
$\frac{-2-2}{-1-1}$•$\frac{-2-\frac{2}{n}}{-1-n}$=-1，即n²+5n+4，
解得：n₁=-4，n₂=-1（舍去），
此时点C的坐标为（-4，-$\frac{1}{2}$）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，
$\frac{-2-2}{-1-1}$•$\frac{\frac{2}{n}-2}{n-1}$=-1，即n²-5n+4=0，
解得：n₃=4，n₄=1（舍去），
此时点C的坐标为（4，$\frac{1}{2}$）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，
$\frac{-2-\frac{2}{n}}{-1-n}$•$\frac{2-\frac{2}{n}}{1-n}$=-1，即n²=4，
解得：n₅=-2，n₆=2，
此时点C的坐标为（-2，-1）或（2，1）．
综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（-4，-$\frac{1}{2}$）、（4，$\frac{1}{2}$）、（-2，-1）或（2，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及垂直的性质，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）分情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用两直线垂直（斜率存在）斜率之积为-1来解决问题．