Question

3．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．

Answer 1

分析 根据△ABD是等腰直角三角形，且BF=AF，所以得到DF=$\frac{1}{2}$AB，根据点G为AC的中点，点M为BC的中点，所以MG为△ABC的中位线，所以MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，得到DF=MG，FM=EG，根据MG∥AB，FM∥AC，所以四边形AFMG是平行四边形，所以∠AFM=∠AGM，证明∠DFM=∠MGE，所以△DFM≌△MGE．

解答 证明：∵△ABD是等腰直角三角形，且BF=AF，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，
∵点G为AC的中点，点M为BC的中点，
∴MG为△ABC的中位线，
∴MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，
同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=MG，FM=EG，
∵MG∥AB，FM∥AC，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴∠AFM=∠AGM，
∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°，
∴∠BFM=∠CGM，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB=90°，同理∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFN和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的中位线定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质的运用，证明出∠DFM=∠MGE是解答本题的关键．