Question

13．如图，直线l过点A（a，0）和点B（0，b）（其中a＞0，b＞0）．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与直线l交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）若a+b=10，△AOB的面积为S，问：当b为何值时，S取最大值？并求出这个最大值；
（2）当S取最大值时，若C，D恰好是线段AB的三等分点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出面积表达式，得到S=$\frac{1}{2}$b（10-b）=-$\frac{1}{2}$b²+5b=-$\frac{1}{2}$（b-5）²+$\frac{25}{2}$，从而求出S的最大值；
（2）当C，D是线段AB的三等分点时，△AOC、△COD、△BOD的面积都相等，据此求出C点的纵坐标，将y=$\frac{5}{3}$代入y=-x+5，得x=$\frac{10}{3}$，即点C的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{3}$），从而得到k的值．

解答 解：（1）根据题意，得：OA=a，OB=b，
∴S=$\frac{1}{2}$ab，
又由a+b=10，得 a=10-b，
得：S=$\frac{1}{2}$b（10-b）=-$\frac{1}{2}$b²+5b=-$\frac{1}{2}$（b-5）²+$\frac{25}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴S有最大值，当b=5时，S取得最大值$\frac{25}{2}$．
（2）设直线l的解析式为y=mx+n，因为直线l过点A（5，0），B（0，5）
∴$\left\{\begin{array}{l}5m+n=0\\ n=5\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=5\end{array}\right.$；
∴直线l的函数关系式为y=-x+5．
过点C作x轴的垂线，垂足为F，
当C，D是线段AB的三等分点时，△AOC、△COD、△BOD的面积都相等，
有S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△AOB，即$\frac{1}{2}$OA×CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$OA×OB，
∴CF=$\frac{5}{3}$即C点的纵坐标为$\frac{5}{3}$；
将y=$\frac{5}{3}$代入y=-x+5，得x=$\frac{10}{3}$．
即点C的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\frac{10}{3}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{50}{9}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及三角形的面积公式、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，比较复杂．