Question

15．如图所示，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值，求点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）该二次函数图象上是否有一点Q（x，y）使S_△ABQ=S_△ABC，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（-1，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值；根据求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标；
（2）根据函数解析式求得对称轴，由二次函数图象上有一点P，又由PA+PC的值最小，连接CB交对称轴于点P，求得BC的解析式即可求得点P的坐标．
（3）根据函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点Q（x，y），又由S_△ABQ=S_△ABC，可知点Q与点C的纵坐标的绝对值相等，代入函数的解析式即可求得点Q的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（-1，0），
∴将点B（-1，0）代入y=-x²+2x+m中，得：
-1-2+m=0，
解得：m=3；
∵二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴B（-1，0）；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故直线BC：y=-x+3；
抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为x=1，
连接BC交对称轴于点P，如图，
设点P坐标（1，t），
把（1，t）代入y=-x+3得t=2，
故点P坐标为P（1，2）；
（3）∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∵设二次函数图象上有一点Q（x，y）使S_△ABQ=S_△ABC，
∴AB•|y_Q|=AB•|y_C|，
∴|y_Q|=|y_C|，
∵y_C=3，
∴|y_Q|=3，
∴y_Q=±3，
∴当y=3时，-x²+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴点Q的坐标为（2，3）．
∴当y=-3时，-x²+2x+3=-3，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$，
∴点Q的坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．
综上所述，Q点坐标为Q₁（2，3），Q₂（1+$\sqrt{7}$，-3），Q₃（1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识．此题综合性较强，但难度不大，属于中档题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，注意数形结合与方程思想的应用．