Question

10．如图，边长为4的正三角形DEF与正方形ABCD共有一顶点D，点E、F分别在线段AB、BC上，将点B与线段DF的中点G连接，则线段BG的长是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作GM⊥BC垂足为M，先证明AE=FC，利用勾股定理求出FC，根据三角形中位线定理求出GM，在RT△BGM中利用勾股定理即可．

解答 解：如图作GM⊥BC垂足为M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB=BC，∠A=∠C=∠ABC=90°
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF=4，∠EDF=60°
在RT△DAE和RT△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{ED=DF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴AE=FC，BE=BF=2$\sqrt{2}$，设BC=DC=x，则CF=AE=x-2$\sqrt{2}$，
在RT△DFC中，∵DF²=CD²+CF²，
∴x²+（x-2$\sqrt{2}$）²=4²，
X=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$（或$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$舍弃）
∵GM∥DC，GD=GF，
∴FM=MC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，GM=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，BM=BF+FM=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
在RT△BGM中，BG=$\sqrt{B{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、正方形的性质，解题关键是寻找三角形全等，学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．