Question

矩形ABCD中，AB=6cm BC=12cm，点P从A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，设运动时间为t s．
（1）t为何值时，△DPQ的面积等于28cm²；
（2）若DQ⊥PQ时，求t的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,相似三角形的判定与性质

专题：几何动点问题

分析：（1）设x秒后△DPQ的面积等于28cm²，用含x的代数式分别表示出PB，QC的长，再利用DPQ的面积等于28列式求值即可；
（2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出

DC

QB

=

CQ

PB

，从而得到有关时间t的比例式，求得t值即可；

解答：解：（1）依题意可知：AP=t，QB=2t，PB=6-t，CQ=12-2t，
所以，72-

1

2

×12t-

1

2

•（6-t）•2t-

1

2

×6（12-2t）=28，
解得t=2或t=4，
答：运动2秒或4秒时，△DPQ的面积等于28cm²；

（2）①当Q与D不重合时，
∵DQ⊥PQ，
∴∠DQP=90°，
∴∠DQC+∠PQB=90°
∵∠PQB+∠QPB=90°，
∴∠DQC=∠QPB，
又∵∠B=∠C，
∴△DCQ∽△QBP，
∴

DC

QB

=

CQ

PB

，
∴

6

2t

=

12-2t

6-t

，
∴解之得：t=

3

2

，t=6（舍去）
②当Q与D重合时，此时P与B重合，可知DQ⊥PQ，
解得t=6；
综上所述，若DQ⊥PQ时，t的值为

3

2

或6．

点评：考查一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半，矩形的面积=长×宽．