Question

【题目】如图，已知ED为⊙O的直径且ED=4，点A（不与E、D重合）为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为⊙O上一点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线交于点C．
（1）求证：△EFB≌△ADE；
（2）当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接FA，

∵∠FEB=90°，

∴EF⊥AB，

∵BE=AE，

∴BF=AF，

∵∠FEA=∠FEB=90°，

∴AF是⊙O的直径，

∴AF=DE，

∴BF=ED，

在Rt△EFB与Rt△ADE中， ，

∴Rt△EFB≌Rt△ADE；

（2）∵Rt△EFB≌Rt△ADE，

∴∠B=∠AED，

∴DE∥BC，

∵ED为⊙O的直径，

∴AC⊥AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥CD，

∴四边形形FCDE，

∴E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，

即点A到DE的距离最大，

∴当A为 的中点时，

点A到DE的距离最大是2，

∴四边形FCDE的最大面积=4×2=8．

【解析】（1）连接FA，根据垂直的定义得到EF⊥AB，得到BF=AF，推出BF=ED，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠B=∠AED，得到DE∥BC，推出四边形形FCDE，得到E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，即点A到DE的距离最大，推出当A为 的中点时，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和圆周角定理的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．