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【题目】综合题。
(1)问题发现:

如图1,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为
(2)拓展探究:

在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE、CE、AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决:
当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候,直接写出线段AF的长.

【答案】
(1)BE= AF;
(2)

解:无变化;理由如下:

如图2,在Rt△ABC中,AB=AC=2,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∴sin∠ABC=

在正方形CDEF中,∠FEC= ∠FED=45°,

在Rt△CEF中,sin∠FEC= =

∵∠FCE=∠ACB=45°,

∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE,

∴∠FCA=∠ECB,

∴△ACF∽△BCE,

=

∴BE= AF,

∴线段BE与AF的数量关系无变化;


(3)

解:当点E在线段AF上时,如图2,

由(1)知,CF=EF=CD=

在Rt△BCF中,CF= ,BC=2

根据勾股定理得,BF=

∴BE=BF﹣EF=

由(2)知,BE= AF,

∴AF= ﹣1,

当点E在线段BF的延长线上时,如图3,

在Rt△ABC中,AB=AC=2,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∴sin∠ABC═

在正方形CDEF中,∠FEC= ∠FED=45°,

在Rt△CEF中,sin∠FEC= =

∵∠FCE=∠ACB=45°,

∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE,

∴∠FCA=∠ECB,

∴△ACF∽△BCE,

= =

∴BE= AF,

由(1)知,CF=EF=CD=

在Rt△BCF中,CF= ,BC=2

根据勾股定理得,BF=

∴BE=BF+EF= +

由(2)知,BE= AF,

∴AF= +1.

即当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候,线段AF的长为 ﹣1或 +1


【解析】解:(1)在Rt△ABC中,AB=AC=2,
根据勾股定理得,BC= AB=2
点D为BC的中点,
∴AD= BC=
∵四边形CDEF是正方形,
∴AF=EF=AD=
∵BE=AB=2,
∴BE= AF,
所以答案是:BE= AF;
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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A.
B.
C.
D.

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(2)补全条形统计图;
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A.36
B.12
C.6
D.3

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A.
B.
C.π
D.

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