【题目】综合题。
(1)问题发现:
如图1,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为
(2)拓展探究:
在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE、CE、AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决:
当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候,直接写出线段AF的长.
【答案】
(1)BE= AF;
(2)
解:无变化;理由如下:
如图2,在Rt△ABC中,AB=AC=2,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴sin∠ABC= ,
在正方形CDEF中,∠FEC= ∠FED=45°,
在Rt△CEF中,sin∠FEC= = ,
∴ ,
∵∠FCE=∠ACB=45°,
∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
∴ = ,
∴BE= AF,
∴线段BE与AF的数量关系无变化;
(3)
解:当点E在线段AF上时,如图2,
由(1)知,CF=EF=CD= ,
在Rt△BCF中,CF= ,BC=2 ,
根据勾股定理得,BF= ,
∴BE=BF﹣EF= ﹣ ,
由(2)知,BE= AF,
∴AF= ﹣1,
当点E在线段BF的延长线上时,如图3,
在Rt△ABC中,AB=AC=2,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴sin∠ABC═ ,
在正方形CDEF中,∠FEC= ∠FED=45°,
在Rt△CEF中,sin∠FEC= = , ,
∵∠FCE=∠ACB=45°,
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
∴ = = ,
∴BE= AF,
由(1)知,CF=EF=CD= ,
在Rt△BCF中,CF= ,BC=2 ,
根据勾股定理得,BF= ,
∴BE=BF+EF= + ,
由(2)知,BE= AF,
∴AF= +1.
即当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候,线段AF的长为 ﹣1或 +1
【解析】解:(1)在Rt△ABC中,AB=AC=2,
根据勾股定理得,BC= AB=2 ,
点D为BC的中点,
∴AD= BC= ,
∵四边形CDEF是正方形,
∴AF=EF=AD= ,
∵BE=AB=2,
∴BE= AF,
所以答案是:BE= AF;
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况,教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质检测.体质检测的结果分为四个等级:优秀、良好、合格、不合格:根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息回答以下问题:
(1)在扇形统计图中,“合格”的百分比为多少?
(2)将条形统计图补充完整:
(3)若该校九年级有400名学生,估计该校九年级体质为“不合格”,等级的学生约有多少人.
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,AB=4,D为AB上的动点,DP⊥AB交折线A﹣C﹣B于点P,设AD=x,△ADP的面积为y,则y与x的函数图象正确的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,已知ED为⊙O的直径且ED=4,点A(不与E、D重合)为⊙O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为⊙O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线交于点C.
(1)求证:△EFB≌△ADE;
(2)当点A在⊙O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.
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【题目】某学校准备开展“阳光体育活动”,决定开设以下体育活动项目:足球、乒乓球、篮球和羽毛球,要求每位学生必须且只能选择一项,为了解选择各种体育活动项目的学生人数,随机抽取了部分学生进行调查,并将通过调查获得的数据进行整理,绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据统计图回答问题:
(1)这次活动一共调查了名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于度;
(4)若该学校有1500人,请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是人.
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【题目】如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为( )
A.36
B.12
C.6
D.3
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,分别以顶点A、B、C、D为圆心,1为半径画弧,四条弧交于点E、F、G、H,则图中阴影部分的外围周长为( )
A.
B.
C.π
D.
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