Question

11．已知点A（0，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且S_△ABC=6．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上找一点D，使点B、C、D三点构成一个等腰三角形，试求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标，可得线段AB的长度为3，再由△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•AB=6，可求得AC的长度，从而得到点C的坐标；
（2）由题意可知使△BCD是等腰三角形，需分情况讨论：①当DC=BC时，利用等腰三角形的性质即可求得点D的坐标；②当BC=BD时，可分当点D在点B的左侧，当点D在点B的右侧两种情况求得；③当BD=CD时，作BC的中垂线交x轴于D，垂足为E，首先证明△BDE∽△BCA，再利用相似三角形的性质，得到比例式，利用比例式求得线段BD的长度，从而求得线段AD的长度，即可得到坐标．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（3，0），
∴AB=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=6，
$\frac{1}{2}$×3•AC=6，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（0，4）；
（2）∵AB=3，AC=4，
∴CB=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
若使△BCD是等腰三角形，可分情况讨论：
①如图1，当DC=BC时，
∵x轴⊥y轴，
∴AD=AB=3，
∴点D的坐标为：（-3，0）；
②如图2，当BC=BD时，
点D的位置可在点B的左侧，也可在点B的右侧，
当点D在点B的左侧时设为D₁，
∵BC=5，
∴D₁B=5，
∵AB=3，
∴D₁A=5-3=2，
∴点D₁坐标为：（-2，0）；
当点D在点B的右侧时设为D₂，
∵BC=5，
∴BD₂=5，
∵AB=3，
∴AD₂=8，
∴点D₂的坐标为：（8，0）；
③如图3，当BD=CD时，作BC的中垂线交x轴于D，垂足为E，
∵BC=5，
∴BE=$\frac{5}{2}$，
∵∠BAC=∠BED=90°，
∴∠BDE+∠B=∠BCA+∠B=90°，
∴∠BDE=∠BCA，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{3}=\frac{BD}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{6}$，
∴AD=$\frac{25}{6}$-3=$\frac{7}{6}$，
∴点D的坐标为：（-$\frac{7}{6}$，0），
故在x轴上的点D，使点B、C、D三点构成一个等腰三角形，此时点D的坐标为：（-3，0）、（-2，0）、（8，0）、（-$\frac{7}{6}$，0）．

点评 本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分情况讨论是解决本题的关键．