Question

10．已知直线l的解析式为y=kx+3，与y轴交于点A，点C在x轴上，AC=$\sqrt{10}$．将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段BC，若点B在直线l上，则k的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，如图所示，由A坐标与AC的长，求出C坐标，设B（x，kx+3），利用两点间的距离公式表示出AB²与BC²，消去x求出k的值即可．

解答 解：由题意可得：A（0，3），AC=$\sqrt{10}$，
∴C（-1，0），
设B（x，kx+3），
∴BC=$\sqrt{10}$，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
综上可得：AB²=x²+（kx+3-3）²=20，BC²=（x+1）²+（kx+3）²=10，
∴（k²+1）x²=20，x[（k²+1）x+（2+6k）]=0，
∵x≠0，
∴x=-$\frac{6k+2}{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{（6k+2）^{2}}{（{k}^{2}+1）^{2}}$•（k²+1）=20，
整理得：（2k-1）（k+2）=0，
∵k＞0，
∴k=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了坐标与图形变化-旋转，以及一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用两点间的距离公式是解本题的关键．