Question

5．如图，直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{4-2m}{x}$交于A，B两点，与x轴交于点P，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标为（-2，-4），$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，求m的值和直线AB对应的函数表达式；
（3）连接CD，判断CD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由图象可知，双曲线y=$\frac{4-2m}{x}$在一三象限，则4-2m＞0，求得m＜2；
（2）作BE⊥x轴于E，把A点的坐标代入，即可求得m的值，根据AC∥BE，则$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，求得BE=$\frac{1}{4}$AC=1，代入解析式即可求得B的坐标，然后关键待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）分别求得OC=2，AC=4，OD=1，OP=6，得出CP=2+6=8，然后证得△COD∽△PCA，证得∠DCO=∠CPA，即可证得CD∥AB．

解答 解：（1）由图象可知，双曲线y=$\frac{4-2m}{x}$在一三象限，
∴4-2m＞0，
解得m＜2；
（2）作BE⊥x轴于E，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥BE，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，
∴BE=$\frac{1}{4}$AC，
∵点A的坐标为（-2，-4），
∴4-2m=-2×（-4）=8，
解得m=-2，
∵AC=4，
∴BE=1，
∴B（8，1），
把A、B点的坐标代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{-2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AB对应的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x-3；
（3）∵A（-2，-4），B（8，1），
∴OC=2，AC=4，OD=1，
由直线y=$\frac{1}{2}$x-3可知P（6，0），
∴CP=2+6=8，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{2}{1}$，
∵∠COD=∠AOP=90°，
∴△COD∽△PCA，
∴∠DCO=∠CPA，
∴CD∥AB．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判断和性质，平行线的判定等，根据三角形相似求得B点的坐标是解题的关键．