Question

14．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于$\frac{1}{2}$|k|，从而求出k的值；
（2）先将y=2x与y=$\frac{2}{x}$联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=$\frac{1}{2}$AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，
又∵A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2．
故这个反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；

（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y=2x与y=$\frac{2}{x}$联立成方程组得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，2），B（-1，-2），
①当AD⊥AB时，如图1，

设直线AD的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
将A（1，2）代入上式得：b=$\frac{5}{2}$，
∴直线AD的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
令y=0得：x=5，
∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，

设直线BD的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
将B（-1，-2）代入上式得：b=-$\frac{5}{2}$，
∴直线AD的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
令y=0得：x=-5，
∴D（-5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，

∵O为线段AB的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∵A（1，2），
∴OC=1，AC=2，
由勾股定理得：OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OD=$\sqrt{5}$，
∴D（$\sqrt{5}$，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（-$\sqrt{5}$，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（-5，0）或（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）．

点评 本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．另外第2问要分3种情况讨论．