Question

2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，过D点作DE⊥BC，交BC延长线于点E，且ED延长线交BA延长线于点P．
（1）求证：PE为⊙O的切线；
（2）若PD=BD=2$\sqrt{3}$，求PD，PA与所围成的阴影面积（保留根号和π）．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$得到∠ABD=∠CBD，加上∠OBD=∠ODB，则∠ODB=∠CBD，于是可判断OD∥BC，由于DE⊥BC，所以OD⊥DE，则可根据切线的判定定理得到PE为⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质，由DP=DB得∠P=∠PBD，则∠P=∠PBD=∠EBD，利用三角形内角和可计算出∠P=30°，则∠POD=60°，再利用∠P的正切可计算出OD=2，然后根据扇形的面积公式和S_阴影部分=S_△POD-S_扇形AOD进行计算即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD，
而OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴PE为⊙O的切线；
（2）解：∵DP=DB，
∴∠P=∠PBD，
∴∠P=∠PBD=∠EBD，
而∠P+∠PBD+∠EBD=90°，
∴∠P=30°，
∵OD⊥PD，
∴∠POD=60°，
∵tan∠P=$\frac{OD}{PD}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$tan30°=2，
∴S_阴影部分=S_△POD-S_扇形AOD
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．