Question

9．如图，AB=AC，DB⊥AB，DC⊥AC，若E、F、G、H分别是各边的中点．
（1）求证：EH=FG；
（2）连接AD、BC交于O，求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由题意得EH、FG为△ADB、△ADC的中位线，可得EH=$\frac{1}{2}$AD，FG=$\frac{1}{2}$AD，即可证明EH=FG．
（2）由题目所给条件推出Rt△ABD≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到DB=DC，利用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得出AD垂直且平分BC．

解答 证明：（1）∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、DB的中点，
∴EH、FG为△ADB、△ADC的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$AD，FG=$\frac{1}{2}$AD，
∴EH=FG；

（2）连接AD，BC，
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC．

点评 本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．