Question

4．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN．连接MN交AB于点P．
（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论；
（2）过点M作边AB的垂线，垂足为Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；
（2）线段PQ的长能确定，过点M作边AB的垂线，垂足为Q，过M作MD⊥AC交AB于D，于是得到△AMD也为等腰直角三角形，设DM=AM=BN=x，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{2}$x，根据平行线的判定得到DM∥CN，故由PM=PN得：BP=DP=$\frac{1}{2}$BD，由AB=a，BD=AB-AD=a-$\sqrt{2}$x，于是得到BP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a--$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根据等腰直角三角形的性质得到DQ=AQ=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，于是得到PQ=PD+DQ=$\frac{1}{2}$a，即可得到结论．

解答 （1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDP=∠NBP}\\{∠MPD=∠NPB}\\{DM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MDP≌△NBP
∴MP=NP；（2）
（2）线段PQ的长能确定，
理由：过点M作边AB的垂线，垂足为Q，过M作MD⊥AC交AB于D，
∴△AMD也为等腰直角三角形，
设DM=AM=BN=x，
∴AD=$\sqrt{2}$x，
∵MD⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥CN，
故由PM=PN得：BP=DP=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=a，BD=AB-AD=a-$\sqrt{2}$x，∴BP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a--$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵MQ⊥AB，
∴在等腰直角三角形AMD中，
：DQ=AQ=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴PQ=PD+DQ=$\frac{1}{2}$a，
∴线段PQ长度确定，与M、N的移动无关，长为$\frac{1}{2}$a．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．