Question

18．解方程：$\frac{1-x}{x^2}-\frac{{2{x^2}}}{1-x}=1$．

Answer 1

分析 本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，将原方程可化简为关于y的方程，然后化成整式方程，解一元二次方程求y，再求x．

解答 解：设y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，则原方程可化为：y-$\frac{2}{y}$=1；
两边同乘以y整理得y²-y-2=0，
解得y₁=2，y₂=-1．
当y₁=2时，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=2，化为；2x²+x-1=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$；
当y₂=-1时，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=-1，化为；x²-x+1=0，∵△＜0，∴此方程无实数根；
经检验x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$都是原方程的根
∴原方程的根是x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$．

点评 用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．