Question

9．已知：梯形ABCD中，AB∥CD，P是AD中点，M是梯形ABCD外角∠ABE的平分线上一点，且∠CPM=90°，如图，当∠ABC=90°时，探究PC与PM之间的数量关系．

Answer 1

分析 延长CP交BA的延长线于F，连接MF，CM，过M作MG⊥AB，MH⊥BC，由P是AD中点，得到AP=DP，通过△AFP≌△DCP，得到PF=PC，由∠CPM=90°，得到MF=MC，通过R_t△CMH≌R_t△FMG中，得到∠MFA=∠MCH，于是得到∠MFC=∠MCH+∠FCD=∠MCF，由于∠BCD=90°，得到△MCF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：PC=PM，
理由：延长CP交BA的延长线于F，连接MF，CM，过M作MG⊥AB，MH⊥BC，
∵P是AD中点，
∴AP=DP，
∵AB∥CD，
∴∠AFP=∠DCP，
在△APF与△DPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFP=∠DCP}\\{∠APF=∠DPC}\\{AP=DP}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△DCP，PF=PC，
∵∠CPM=90°，
∴MP⊥CP，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵MB平分∠HBG，
∴MG=MH，
在R_t△CMH与R_t△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{MC=MF}\\{MH=MG}\end{array}\right.$，
∴R_t△CMH≌R_t△FMG中，
∴∠MFA=∠MCH，
∴∠MFC=∠MCH+∠FCD=∠MCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠MCF=∠MFC=45°，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∵PF=PC，
∴PM=PC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键，