【题目】综合与实践:问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:已知,在菱形中,为对角线,,,将菱形绕顶点顺时针旋转,旋转角为(单位).旋转后的菱形为.在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.
(1)如图1,若旋转角,与相交于点,与相交于点.请说明线段与的数量关系;
(2)如图2,连接,菱形旋转的过程中,当与互相垂直时,的长为______;
(3)如图3,若旋转角为时,分别连接,,过点分别作,,连接,菱形旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段,请求出长度;
操作探究:(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析;(2);(3)EF=2;(4),,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由见解析
【解析】
(1)根据菱形的性质以及旋转的性质,证得,根据 证得,可以得到结论;
(2)根据菱形的性质及 条件与互相垂直,证明A、D、C在同一直线上,利用锐角三角函数求得对角线的长,即可求得结论;
(3)利用等腰三角形三线合一的性质,EF是的中位线,从而证明=2;
(4)以为边向外作等边三角形,利用等边三角形的性质以及SAS证明,得到,把、、三条线段归结到一个三角形中,易证得是直角三角形,从而得到结论.
(1),理由如下:
∵四边形是菱形,∴.
∴.
由旋转的性质可得:,,,,
∴.
∴,
即.
在和中,
,
∴,∴.
(2)菱形AB'CD'中,B'D'=AB ,∠B'AD'=60° ,
AB平分∠B'AD' (等腰三角形三线合一),
∴∠BAD'=30°,
∵∠B_AD= 60°,
∴∠BAD'=∠D'AD=30°,
∴A 、D、C在同一直线上,
如图,菱形ABCD中, BD为对角线,∠BAD= 60°,AB=4,
∴∠DAG=∠BAG=30°,AC=2AG
∴,
∴,
∴,
故答案为:
(3)如图,连接,由题可得:.
∵,
∴(等腰三角形三线合一),同理,
∴是的中位线,∴.
∵四边形是菱形,∴,
又∵,是等边三角形,
∴,∴.
(4)以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由如下:
如图,以为边向外作等边三角形,连接,,
∵四边形是菱形,,
∴与是等边三角形,.
由(3)可知:与都是等腰三角形,
∴
.
∵与是等边三角形,
∴,,,
∴,∴.
在和中,
,
∴,
∴,,
∴.
∴是直角三角形,
即以,,三条线段长度为边的三角形是直角三角形.
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【题目】某网上书店以每本24元的价格购进了600本某种畅销书籍(定价每本45元),第一个月以每本36元销售,卖出了200本;第二个月书店为了增加销售量,决定在第一个月价格的基础上降价销售,根据市场调查,每本书每降低1元,可多售出20本,但最低售价应高于购进的价格.第二个月结束后,书店将剩余的书籍捐赠给某希望学校,设第二个月每本降低元.
(1)填表:(列式,不需要化简)
时间 | 第一个月 | 第二个月 |
每本售价(元) | 36 | |
销售量(本) | 200 |
(2)如果该书店希望通过销售这批书籍获利2400元,那么第二个月每本书的售价应是多少元?
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是( )
A. 1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
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【题目】如图,在等边中,,点D是线段BC上的一动点,连接AD,过点D作,垂足为D,交射线AC与点设BD为xcm,CE为ycm.
小聪根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程,请补充完整:
通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||
___ | 0 | 0 |
说明:补全表格上相关数值保留一位小数
建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
结合画出的函数图象,解决问题:当线段BD是线段CE长的2倍时,BD的长度约为_____cm.
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【题目】珠海市某中学在创建“书香校园”活动中,为了解学生的读书情况,某校抽样调查了部分同学在一周内的阅读时间,绘制如下统计图.根据图中信息,解答下列问题:
(1)被抽查学生阅读时间的中位数为 h,平均数为 h;
(2)若该校共有1500名学生,请你估算该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是( )
A. 6 B. 10 C. 2 D. 2
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【题目】在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H.
(感知)如图①,若四边形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,则 S 四边形AEOG= S 正方形 ABCD;
(拓展)如图②,若四边形 ABCD 是矩形,且 S 四边形 AEOG=S 矩形 ABCD,设 AB=a, AD=b,BE=m,求 AG 的长(用含 a、b、m 的代数式表示);
(探究)如图③,若四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=3,AD=5,BE=1, 试确定 F、G、H 的位置,使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.
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【题目】剪纸是中国传统的民间艺术,它画面精美,风格独特,深受大家喜爱,现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“金鱼”,另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”,卡片除正面剪纸图案不同外,其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“蝴蝶”的卡片记为B)
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