Question

如图，在正方形ABCD的外部作等边△DCE，AE交CD于F，则

AF

FE

的值为

 

，

CF

FD

的值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：作EH⊥DC于H，设等边△DCE的边长为a，根据等边三角形的性质得CH=DH=

1

2

a，DC=DE=a，∠CDE=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=

3

DH=

3

2

，再根据正方形的性质得AD=DC=a，∠ADC=90°，则AD∥EH，根据相似三角形的判定得到△ADF∽△EHF，根据下似比可解出

AF

EF

=

DF

FH

=

2 3

3

，
则FH=

3

2

DF，利用DF+CF=

1

2

a，解得DF=（2-

3

）a，然后计算CF=CD-CF=a-（2-

3

）a=（

3

-1）a，再计算

CF

FD

的值．

解答：解：作EH⊥DC于H，设等边△DCE的边长为a，如图，
∵△DCE为等边三角形，
∴CH=DH=

1

2

a，DC=DE=a，∠CDE=60°，
∴EH=

3

DH=

3

2

，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=a，∠ADC=90°，
∴AD∥EH，
∴△ADF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

DF

FH

AD

EH

，即

AF

EF

=

DF

FH

=

a

3 a 2

=

2 3

3

，
∴FH=

3

2

DF，
∵DF+

3

2

DF=

1

2

a，解得DF=（2-

3

）a，
∴CF=CD-CF=a-（2-

3

）a=（

3

-1）a，
∴

CF

FD

=

( 3 -1)a

(2- 3 )a

=2

3

+1．
故答案为

2 3

3

；2

3

+1．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了正方形和等边三角形的性质．