Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：BC²=BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，判断△ABC的形状（直接写出，不证明）．

Answer 1

分析 （1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；
（2）通过证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到结论；
（3）证明∠B=45°，∠A=45°，进而证明AC=BC即可解决问题．

解答 （1）证明：连接CD，OC，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC，
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AC是⊙O是直径，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
即BC²=BD•BA，

（3）解：△ABC是等腰直角三角形
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．