Question

6．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=8，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A₁OB₁处，此时线段OB₁与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段BB₁的长度为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 A₁B₁与OA相交于点E，作B₁H⊥OB于点H，如图，利用勾股定理得到AB=10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AD=DB，则∠1=∠A，接着根据旋转的性质得∠3=∠2，A₁B₁=AB=10，OB₁=OB=8，OA₁=OA=6，易得∠2+∠1=90°，所以∠OEB₁=90°，于是可利用面积法计算出OE=$\frac{24}{5}$，则可根据勾股定理计算出B₁E=$\frac{32}{5}$，再由四边形OEB₁H为矩形得到B₁H=OE=$\frac{24}{5}$，OH=EB₁=$\frac{32}{5}$，得到BH=OB-OH=$\frac{8}{5}$，然后在Rt△B₁BH中利用勾股定理可计算出BB₁的长．

解答 解：A₁B₁与OA相交于点E，作B₁H⊥OB于点H，如图，
∵∠AOB=90°，AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵D为AB的中点，
∴OD=AD=DB，
∴∠1=∠A，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转得到△A₁OB₁，
∴∠3=∠2，A₁B₁=AB=10，OB₁=OB=8，OA₁=OA=6，
∵∠3+∠A=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠OEB₁=90°，
∵$\frac{1}{2}$OE•A₁B₁=$\frac{1}{2}$OB₁•OA₁，
∴OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OEB₁中，B₁E=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
易得四边形OEB₁H为矩形，
∴B₁H=OE=$\frac{24}{5}$，OH=EB₁=$\frac{32}{5}$，
∴BH=OB-OH=$\frac{8}{5}$，
在Rt△B₁BH中，BB₁=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．