Question

16．⊙O的内接正三角形与正六边形的面积之比为（　　）

• A． $\sqrt{2}$：1
• B． 1：$\sqrt{3}$
• C． 1：2
• D． 1：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设⊙O的半径为R，作OM⊥BC于M，ON⊥CF于N，连接OB、OC、OF；则BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，CN=FN=$\frac{1}{2}$CF，由⊙O的内接正三角形的性质得出∠OBC=30°，得出OM=$\frac{1}{2}$R，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，得出BC=$\sqrt{3}$R，求出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•OM×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，同理得出CN=$\frac{1}{2}$R，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，CF=R，正六边形ADBECF的面积=$\frac{1}{2}$CF•ON×6=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²，即可得出结果．

解答 解：设⊙O的半径为R，如图所示：
作OM⊥BC于M，ON⊥CF于N，连接OB、OC、OF；
则BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，CN=FN=$\frac{1}{2}$CF，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠OBC=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$R，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴BC=$\sqrt{3}$R，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•OM×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$R×$\frac{1}{2}$R×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，
同理：CN=$\frac{1}{2}$R，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，CF=R，
∴正六边形ADBECF的面积=$\frac{1}{2}$CF•ON×6=$\frac{1}{2}$×R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×6=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²，
∴⊙O的内接正三角形与正六边形的面积之比为1：2．
故选：C．

点评 本题考查了圆的内接正三角形与正六边形的性质、正三角形与正六边形的面积的计算、垂径定理；熟练掌握圆的内接正三角形与正六边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．