Question

11．如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AD上．
（1）若BE平分∠ABC，求证：CE平分∠ACB；
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=80°，求∠BEC的度数；
（3）若∠BEC=90°+∠EAC，求证：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）由∠BAC=80°，得到∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，由于BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，于是得到∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=50°，于是结论可得；
（3）过C作CF⊥BE交BE的延长线于G，交BA的延长线于F，连接EF，则∠CGE=90°，于是得到∠BEC=90°+∠ECG=90°+∠EAC，由于AD平分∠BAC于是得到∠EAB=∠EAC=∠ECG，推出A，E，C，F四点共圆，得到△CEF是等腰三角形，证出△BEF≌△BEC，推出∠EBF=∠EBC，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，过E作EF⊥AB与F，EG⊥BC与G，EH⊥AC与H，
∵AD平分∠BAC，
∴EF=EH，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EG，
∴EH=EG，
∴CE平分∠ACB；

（2）∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BEC=180°-50°=130°；

（3）过C作CF⊥BE交BE的延长线于G，交BA的延长线于F，连接EF，则∠CGE=90°，
∴∠BEC=90°+∠ECG=90°+∠EAC，
∴∠EAC=∠ECG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB=∠EAC=∠ECG，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠EFG=∠EAC=∠ECG，
∴△CEF是等腰三角形，
∴EF=EC，∠FEG=∠CEG，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BEF与△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC，
∴∠EBF=∠EBC，
∴BE平分∠ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．