Question

3．如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE=3，AF=4，∠EAF=60°，则?ABCD的面积是8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长AE，DC交于G，连接AC，过F作FH⊥AE于H，根据已知条件推出△ABE≌△GCE，得到GE=AE=3，于是得到S_△AEC=S_△AFC=S_△GEC=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，求出S_△AGF=×$6×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，得到S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△AGF=2$\sqrt{3}$，即可得到结果．

解答 解：延长AE，DC交于G，连接AC，过F作FH⊥AE于H，
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCG，
∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴BE=CE，
在△ABE与△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECG}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△GCE，
∴GE=AE=3，
∵AF=4，∠EAF=60°，∴FH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=S_△AFC=S_△GEC=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∵AG=6，FH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AGF=$\frac{1}{2}$×$6×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△AGF=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AEC=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．