分别以平行四边形ABCD的三边AB.CD.DA为斜边作等腰直角三角形:△ABE.△CDG.△ADF．(1)如图①.当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时.连接GF.EF．请判断GF与EF的关系.并进行证明．(2)如图②.当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时.连接EF.EF.(1)中的结论还成立吗?若成立.给出证明,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．分别以平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形：△ABE、△CDG，△ADF．
（1）如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系，并进行证明．
（2）如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接EF，EF，（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．

解答解：（1）GF⊥EF，GF=EF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AF}\\{∠FDG=∠FAE}\\{DG=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△GDF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AF}\\{∠FDG=∠FAE}\\{DG=AE}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△EAF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF．

点评本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出△EAF≌△GDF是解题关键

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