Question

5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OB，根据垂径定理可求得OM与OE的关系，求得ME的长，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEM=30°，根据三角函数的性质，则可求得⊙O的半径；
（2）由垂径定理，可得$\widehat{BE}$，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠B的度数，即可求得∠EDA的度数，又由EC∥BD，可求得∠CED的度数，继而求得∠CEO=90°，即可证得EC是⊙O的切线；
（3）由∠BND=30°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF，即可求得答案．

解答 （1）解：连接OE．
∵DE垂直平分半径OB，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB
∵OB=OE，
∴OM=$\frac{1}{2}$OE，ME=$\frac{1}{2}$DE=2，
∴∠OEM=30°，
∴OE=$\frac{EM}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）证明：由（1）知：∠BOE=60°，$\widehat{BE}$，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOE=30°，
∴∠ADE=60°
∵AD∥CE，
∴∠CED=∠ADE=60°，
∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，
∴OE⊥EC，
∴EC是⊙O的切线；

（3）解：连接OF．
∵∠DNB=30°，
∵∠DMA=90°，
∴∠MDN=60°，
∴∠EOF=2∠EDF=120°，
∴S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF=$\frac{120•π×（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16}{9}$π-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．