Question

17．如图所示，已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，且PA=PB，连接OP、AB相交于点D，过点O作OC⊥OP交⊙O于C，连接BC交OP于E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）连接AC，若tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，⊙O的半径为5，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OB，由已知条件得到△AOP≌△BOP，得到∠PBO=∠OAP=90°，即可得到结论；
（2）由弦切角定理得到∠PAD=∠AOP，根据tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，设AD=3x，OD=4x，求得AD=3，OD=4，得出BD=AD=3，根据△CEO∽△BDE，得到$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{DE}$，得出OE=$\frac{5}{2}$，根据勾股定理即可得到结果．

解答 解：（1）连接OA，OB，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△AOP与△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{OP=OP}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB．
∴PB为⊙O的切线；

（2）∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB，
∴AB⊥OP，
∴∠PAD=∠AOP，
∵tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠PAD=tan∠AOP=$\frac{3}{4}$，
∴设AD=3x，OD=4x，
∴OA=5x=5，
∴AD=3，OD=4，
∴BD=AD=3，
∵OC⊥OP，
∴∠COE=∠EDB=90°，
∵∠CEO=∠DEB，
∴△CEO∽△BDE，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{DE}$，即$\frac{5}{3}=\frac{OE}{4-OE}$，
∴OE=$\frac{5}{2}$，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弦切角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．