Question

12．如图，三个内角∠A、∠B、∠C均为45°．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）连接BD和AC，判断BD和AC的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）延长CD与AB交与点E，由∠B、∠C均为45°，利用三角形的内角和定理可知∠BEC=90°，得CD⊥AB；
（2）延长BD与AC交于点F，首先证明Rt△AEC≌Rt△DEB，由全等三角形的性质易得BD=AC，∠EBD=∠ECA，易得∠BED=∠CFD=90°，得出结论．

解答 解：（1）如图1，延长CD与AB交与点E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠BEC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）BD=AC且BD⊥AC．
延长BD与AC交于点F，
∵∠CED=∠AED=90°，∠BAD=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∵∠ABC=∠BCE=45°，
∴BE=CE，
在Rt△AEC与Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AED=∠DEB}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△DEB，
∴BD=AC，∠EBD=∠ECA，
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴BD⊥AC，
∴BD=AC且BD⊥AC．

点评 本题主要考查了垂直的定义，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质及判定定理，作出适当的辅助线，证明三角形全等是解答此题的关键．