Question

20．在菱形ABCD中，∠A=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP
（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；
（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；
（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF且∠EDF=∠ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABCD是菱形，∠A=60°，判断出△ABD、△BCD是等边三角形；然后判断出∠DME=90°，在Rt△CME中，根据N为EC的中点，求出MN的长是多少即可．
（2）首先连接BE、CF，根据三角形的中位线定理，判断出MN=$\frac{1}{2}CF$，PN=$\frac{1}{2}BE$；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BDE≌△∠CDF，即可判断出CF=BE，所以MN=PN．
（3）∠ABD与∠MNP的和是一个定值，∠ABD+∠MNP=180°．首先连接BE、CF，延长CE交BD于点G，根据三角形的中位线定理，判断出∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCEM，∠ENP=∠BEG；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BDE≌△∠CDF，即可判断出∠DBE=∠DCF；最后根据三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，判断出∠ABD+∠MNP=180°即可．

解答 解：（1）如图1，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
∴BC=CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
又∵P为BC的中点，
∴DP是∠BDC的平分线，
∴∠CDP=60°÷2=30°，
又∵三角形DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠DME=180°-30°-60°=90°，
在Rt△CME中，
∵N为EC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
即MN的长是$\frac{3}{2}$．

（2）如图2，连接BE、CF，，
∵点N、M分别为EC、EF的中点，
∴MN是△CEF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}CF$；
∵点N、P分别为EC、BC的中点，
∴PN是△CBE的中位线，
∴PN=$\frac{1}{2}BE$；
∵∠BDC=60°，∠EDF=60°，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△∠CDF，
∴CF=BE，
∴MN=PN．

（3）∠ABD与∠MNP的和是一个定值，∠ABD+∠MNP=180°．
证明：如图3，连接BE、CF，延长CE交BD于点G，，
∵点N、M分别为EC、EF的中点，
∴MN是△CEF的中位线，
∴MN∥CF，
∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，
∵点N、P分别为EC、BC的中点，
∴PN是△CBE的中位线，
∴PN∥BE，
∴∠ENP=∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
又∵∠EDF=∠ABD，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD，
又∵AB=CD，
∴BD=CD，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△∠CDF，
∴∠DBE=∠DCF，
根据三角形的外角的性质，可得
∠BGE=∠BDC+∠DCE，
在△BGE中，
∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，
∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，
∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，
又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABD+∠MNP=180°，
即∠ABD与∠MNP的和是一个定值．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力、空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（4）此题还考查了三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，要熟练掌握．