Question

11．如图在△ABC中，∠BAC=120°，以BC边向形外作等边△BCD，把△ABC绕着点D顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时恰好A、C、E三点共线，连接AD和BC相交于点F．若AB=5，ED=8，则CF的长是$\frac{21}{8}$．

Answer 1

分析 过D作DM⊥AE，根据旋转的性质得到AB=CE=5，AD=DE，∠ADE=60°，于是得到△ADE是等边三角形，推出AD=DE=AE=AC+CE=8，由于DM⊥AE，得到AM=4，MD=4$\sqrt{3}$，求出CD=7，由△BCD是等边三角形，得出BC=CD=7，由于∠BAC=120°，∠DAE=60°，得到AF是∠BAC的角平分线，于是得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CF}$，解得BF=$\frac{5}{3}CF$，于是求得结论．

解答 解：过D作DM⊥AE，根据旋转的性质得：AB=CE=5，AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE=AC+CE=8，
∵DM⊥AE，
∴AM=4，MD=4$\sqrt{3}$，
∴CM=1，
∴CD=7，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=7，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠DAE=∠BAD，
∴AF是∠BAC的角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CF}$，
∴BF=$\frac{5}{3}CF$，
∵BF+CF=7，
∴CF=$\frac{21}{8}$．
故答案为：$\frac{21}{8}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质．