Question

8．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点为A（$\sqrt{6}$，m）．
（1）求k的值；
（2）将直线y=x向上平移1个单位长度，与x轴、y轴分别交于点C、D，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的交点记为Q．试猜想线段DQ和CD的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点为A（$\sqrt{6}$，m），求得点A的坐标，进而代入反比例函数解析式得出k的值；
（2）先根据平移后的直线解析式求得C（-1，0），D（0，1），再令x+1=$\frac{6}{x}$，求得Q（2，3），进而得出线段DQ和CD的数量关系．

解答 解：（1）把A（$\sqrt{6}$，m）代入直线y=x，可得
m=$\sqrt{6}$，
∴A（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），
把A（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可得
k=6；

（2）DQ=2CD，
证明：将直线y=x向上平移1个单位长度，可得y=x+1，
∴C（-1，0），D（0，1），
即CO=DO=1，
∴CD=$\sqrt{2}$，
令x+1=$\frac{6}{x}$，解得x=2或-3，
∵点Q在第一象限，
∴Q（2，3），
∴DQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DQ=2CD．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，由点的坐标求函数的解析式以及直线平移规律．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．