Question

3．如图，一次函数与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象在第一象限交于A、B两点，且交x轴于点C，交y轴于点F，若$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，连接OA交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象于点D，连接BD，若S_△ADB=$\frac{8}{3}$，则k的值为1．

Answer 1

分析 作AM⊥OC于M，BN⊥OC于N，根据已知得出$\frac{BN}{AM}$=$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，设B（m，$\frac{4}{m}$），则A（$\frac{m}{3}$，$\frac{12}{m}$），根据反比例系数k的几何意义可知S_△AOB=S_梯形AMNB=$\frac{16}{3}$，从而求得AD=OD，得出D（$\frac{m}{6}$，$\frac{6}{m}$），代入y=$\frac{k}{x}$（k＞0）即可求得k的值．

解答 解：作AM⊥OC于M，BN⊥OC于N，
∵S_△AOM=S_△BON=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴S_△AOB=S_梯形AMNB，
设B（m，$\frac{4}{m}$），
∵AM∥BN，$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴A（$\frac{m}{3}$，$\frac{12}{m}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m}$+$\frac{12}{m}$）×（m-$\frac{m}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
∵S_△ADB=$\frac{8}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{8}{3}$，
∴AD=OD，
∴D（$\frac{m}{6}$，$\frac{6}{m}$），
∵D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=$\frac{m}{6}$×$\frac{6}{m}$=1．
故答案为1．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出S_△AOB=S_梯形AMNB是解题的关键．