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    11．如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．
    （1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；
    （2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；
    （3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．

    分析 （1）先过点C作CO⊥BC交AB于点O，此时⊙O和直线BC相切，再设AO=x，利用RT△OCB列出方程求解即可，
    （2）由图可得分两种情况：当①0＜t≤$\frac{3}{4}$时，线段PC和⊙O只有一个交点；②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
    （3）分三种情况①当t＜1时，②当t=1时，③1＜t≤1.5时分别求解即可．

    解答 解：（1）如图1，过点C作CO⊥BC交AB于点O，

    ∵∠A=∠B=30°，
    ∴∠ACB=120°，
    又∵∠OCB=90°，
    ∴∠OCA=30°，
    ∴此时⊙O和直线BC相切，
    设AO=x，则BO=3-x，
    ∵AO=OC，
    在RT△OCB中，3-x=2x，
    解得x=1．
    ∴当t=1时，⊙O和直线BC相切；
    （2）①如图2，作CD⊥AB交AB于点D，

    ∵AB=3，∠A=∠B=30°，
    ∴AD=$\frac{3}{2}$，
    ∴AO=$\frac{3}{4}$，
    ∴当0＜t≤$\frac{3}{4}$时，线段PC和⊙O只有一个交点；
    ②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点，
    综上所述：当0＜t≤$\frac{3}{4}$或1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
    （3）①当t＜1时，如图3，作CD⊥AB交AB于点D，

    ∵AB=3，∠A=∠B=30°，
    ∴AD=$\frac{3}{2}$，
    ∴AC=$\sqrt{3}$，
    ∵∠AQP=90°，∠A=30°，
    ∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\sqrt{3}$AO，QP=AO，
    ∴QC=AC-AQ=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$AO，
    ∴S=$\frac{1}{2}$QC•QP=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）•t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
    ∴S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{8}$；
    ②当t=1时，S=0，
    ③1＜t≤1.5时，如图4，

    ∵∠AQP=90°，∠A=30°，
    ∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\sqrt{3}$AO，QP=AO，
    ∵AC=$\sqrt{3}$，
    ∴QC=AQ-AC=$\sqrt{3}$AO-$\sqrt{3}$，
    ∴S=$\frac{1}{2}$QC•QP=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$）•t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
    ∴当t=1.5时，S有最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

    点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线，等腰三角形，特殊直角三角形及三角形的面积，解题的关键是根据情况正确的讨论求解，不要漏解．

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