Question

12．如图所示，在?ABCD中，AB=2BC，点M是DC的中点，BE⊥AD，E是垂足，求证：∠EMC=3∠DEM．

Answer 1

分析 延长EM交BC的延长线于F，连接BM，根据已知条件证得△DEM≌△CFM，得到EM=FM，由于AD∥BC，BE⊥AD，于是得到△EBF是直角三角形，BM为斜边的中线，得到MF=BM，推出∠F=∠MBC，根据已知条件AB=2BC，AB=CD=$\frac{1}{2}$CM，得到∠MBC=∠CMB，根据外角的性质得到∠MCF=∠MBC+∠CMB=2∠F．于是得到∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠DEM．

解答 证明：延长EM交BC的延长线于F，连接BM，
在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEM=∠F，
在△DEM与△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠CMF}\\{∠DEM=∠F}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△CFM，
∴EM=FM，
∵AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴△EBF是直角三角形，BM为斜边的中线，
∴MF=BM，
∴∠F=∠MBC，
∵AB=2BC，AB=CD=$\frac{1}{2}$CM，
∴∠MBC=∠CMB，
则∠MCF=∠MBC+∠CMB=2∠F．
∴∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠DEM．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质以及直角三角形斜边中线问题，正确的做出辅助线是解题的关键．