Question

已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠D=90°，点D在第一象限，OC=4，反比例函数的图象经过CD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求B点坐标．并根据图象直接写出x取何值时，双曲线在△OCD的内部．

Answer 1

解：（1）分别作DE、AF垂直于x轴于点E、F．
∵△OCD是等腰直角三角形，OC=4，
∴DE=OE=CE=2，
又∵点A是CD的中点，
∴A（3，1）．
设反比例函数的解析式是y=，
则k=xy=3，
即反比例函数的解析式y=；

（2）设直线OD的解析式是y=kx．
把点D（2，2）代入，得k=1，
则y=x．
根据题意，得，
解，得，
又x＞0，
∴点B（，）．
根据图象，得当＜x＜3时，双曲线在△OCD的内部．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求得点D的坐标，再根据三角形的中位线定理求得点A的坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）根据点B是直线OD与双曲线的交点，联立解方程组即可，根据点A和点B的横坐标直接写出x取何值时，双曲线在△OCD的内部．
点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、两个函数图象的交点的求法以及函数图象与坐标轴的交点的求法．