Question

4．在两个等腰三角形ABC和A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角，试分别依据下列条件，判断△ABC△A′B′C′是否相似？如果相似，请写出证明过程．
（1）∠A=∠A′；
（2）∠B=∠B′（或∠C=∠C′）

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠B′=∠C′，由顶角相等和三角形内角和定理得出∠B=∠C=∠B′=∠C′，即可得出△ABC∽△A′B′C′；
（2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠B′=∠C′，再由∠B=∠B′（或∠C=∠C′），得出∠C=∠C′（或∠B=∠B′），即可得出结论．

解答 证明：（1）∵△ABC和△A′B′C′是等腰三角形，∠A、∠A′分别是顶角，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，
∵∠A=∠A′，∠A+∠B+∠C=180°，∠A′+∠B′+∠C′=180°，
∴∠B=∠C=∠B′=∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
（2）∵△ABC和△A′B′C′是等腰三角形，∠A、∠A′分别是顶角，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，
∵∠B=∠B′，
∴∠C=∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
若∠C=∠C′，
同理可证：△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，弄清等腰三角形的角之间的关系是解决问题的关键．