Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x2＋bx＋c（b＞0）上，且A（1，－1），

（1）若b－c＝4，求b，c的值；

（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；

（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，－1），点A的对应点A1为

（1－m，2b－1）.当m≥－时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）b＝1，c＝－3；（2）对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k·OB；（3）平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，－）.

【解析】

（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c得b+c=-2，与b-c=4构成方程组，解方程组即可求得；

（2）求得B（0，-2-b），C（-，0），即可求得OC=，OB=2+b，根据题意当k=时，由OC=OB得=（2+b），此时b=-6＜0不合题意，即可判定命题不正确；

（3）把y=x2+bx+c化成顶点式，得到y=（x+）2--2-b，根据平移的规律得到y=（x++m）2--2+b，把（1，-1）代入，进一步得到（1++m）2=（-1）2，即1++m=±（-1），分类求得m=-b，由m≥-，得到b≤，即0＜b≤，从而得到平移后的解析式为y=（x-）2--2+b，得到顶点为（，--2+b），设p=--2+b，即p=-（b-2）2-1，即可得到p取最大值为-，从而得到最高点的坐标．

（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c，可得b+c=-2，

解，可得b=1，c=-3，

（2）不正确，

理由：由b+c=-2，得c=-2-b．

对于y=x2+bx+c，

当x=0时，y=c=-2-b．

抛物线的对称轴为直线x=-．

所以B（0，-2-b），C（-，0）．

因为b＞0，

所以OC=，OB=2+b，

当k=时，由OC=OB得=（2+b），此时b=-6＜0不合题意．

所以对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC=kOB；

（3）由平移前的抛物线y=x2+bx+c，可得

y=（x+）2-+c，即y=（x+）2--2-b．

因为平移后A（1，-1）的对应点为A1（1-m，2b-1）

可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．

则平移后的抛物线解析式为y=（x++m）2--2-b+2b，

即y=（x++m）2--2+b．

把（1，-1）代入，得

（1++m）2--2+b=-1．

（1++m）2=-b+1．

（1++m）2=（-1）2．

所以1++m=±（-1）．

当1++m=-1时，m=-2（不合题意，舍去）；

当1++m=-（-1）时，m=-b，

因为m≥-，所以b≤．

所以0＜b≤，

所以平移后的抛物线解析式为y=（x-）2--2+b．

即顶点为（，--2+b），

设p=--2+b，即p=-（b-2）2-1．

因为-＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．

因为0＜b≤，

所以当b=时，p取最大值为-，

此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，-）．